Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & - 6 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 30 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & - 6 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 5 x + 3 y \\ 2 x - 6 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 30 \end{array}]$

Étape 2

Write as a linear system of equations.

$5 x + 3 y = 3$

$2 x - 6 y = 30$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $x$ dans $5 x + 3 y = 3$ .

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Étape 3.1.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = 3 - 3 y$

$2 x - 6 y = 30$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 3 - 3 y$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 3 - 3 y$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$2 x - 6 y = 30$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $2 x - 6 y = 30$ par $\frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$ .

$2 (\frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}) - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}) - 6 y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{3}{5}) + 2 (- \frac{3 y}{5}) - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $2 (\frac{3}{5})$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Associez $2$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5} + 2 (- \frac{3 y}{5}) - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{5} + 2 (- \frac{3 y}{5}) - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{6}{5} + 2 (- \frac{3 y}{5}) - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $2 (- \frac{3 y}{5})$ .

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Étape 3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{6}{5} - 2 \frac{3 y}{5} - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{3 y}{5}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2 (3 y)}{5} - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 6 y}{5} - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{6}{5} + \frac{- 6 y}{5} - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{5} - \frac{6 y}{5} - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{6}{5} - \frac{6 y}{5} - 6 y = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $- 6 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} - \frac{6 y}{5} - 6 y \cdot \frac{5}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $- 6 y$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} - \frac{6 y}{5} + \frac{- 6 y \cdot 5}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6}{5} + \frac{- 6 y - 6 y \cdot 5}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 - 6 y - 6 y \cdot 5}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$\frac{6 - 6 y - 30 y}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.7

Soustrayez $30 y$ de $- 6 y$ .

$\frac{6 - 36 y}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.8

Factorisez $6$ à partir de $6 - 36 y$ .

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Étape 3.2.2.1.8.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (1) - 36 y}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.8.2

Factorisez $6$ à partir de $- 36 y$ .

$\frac{6 (1) + 6 (- 6 y)}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.2.2.1.8.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (1) + 6 (- 6 y)$ .

$\frac{6 (1 - 6 y)}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{6 (1 - 6 y)}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{6 (1 - 6 y)}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{6 (1 - 6 y)}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$\frac{6 (1 - 6 y)}{5} = 30$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3

Résolvez $y$ dans $\frac{6 (1 - 6 y)}{5} = 30$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{6 (1 - 6 y)}{5} \cdot 5 = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1.1

Simplifiez $\frac{6 (1 - 6 y)}{5} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (1 - 6 y)}{5} \cdot 5 = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 (1 - 6 y) = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$6 (1 - 6 y) = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cdot 1 + 6 (- 6 y) = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1.1.3.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + 6 (- 6 y) = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.2.1.1.3.2

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$6 - 36 y = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.2.1.1.3.3

Remettez dans l’ordre $6$ et $- 36 y$ .

$- 36 y + 6 = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- 36 y + 6 = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- 36 y + 6 = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- 36 y + 6 = 30 \cdot 5$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $30$ par $5$ .

$- 36 y + 6 = 150$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- 36 y + 6 = 150$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- 36 y + 6 = 150$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 36 y = 150 - 6$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.3.1.2

Soustrayez $6$ de $150$ .

$- 36 y = 144$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$- 36 y = 144$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 36 y = 144$ par $- 36$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 36 y = 144$ par $- 36$ .

$\frac{- 36 y}{- 36} = \frac{144}{- 36}$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 36 y}{- 36} = \frac{144}{- 36}$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{144}{- 36}$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{144}{- 36}$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{144}{- 36}$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.3.1

Divisez $144$ par $- 36$ .

$y = - 4$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = - 4$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = - 4$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = - 4$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

$y = - 4$

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 4$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{3}{5} - \frac{3 y}{5}$ par $- 4$ .

$x = \frac{3}{5} - \frac{3 (- 4)}{5}$

$y = - 4$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $\frac{3}{5} - \frac{3 (- 4)}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 - 3 \cdot - 4}{5}$

$y = - 4$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$x = \frac{3 + 12}{5}$

$y = - 4$

Étape 3.4.2.1.2.2

Additionnez $3$ et $12$ .

$x = \frac{15}{5}$

$y = - 4$

Étape 3.4.2.1.2.3

Divisez $15$ par $5$ .

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

Étape 3.5

Indiquez toutes les solutions.

$x = 3, y = - 4$